Cas particulier des fonctions constantes

Propriété

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que   \(a.
Soit \(k\) un réel positif. On a alors  \(\displaystyle \boxed{\int_a^b k\;\text d x = k(b-a)}\) .

Démonstration

Le plan est muni d'un repère orthogonal. Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que   \(a.
Soit \(k\) un réel positif et \(f\) la fonction constante définie sur \([a~;~b]\) par \(f(x)=k\) .
La fonction constante \(f\) est représentée par un segment de droite parallèle à l'axe des abscisses. L'aire sous la courbe représentative de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est un rectangle. Son aire est le produit de sa hauteur par sa largeur, c'est-à-dire ici \(k(b-a)\) .

Exemples

1.  \(\displaystyle \int_1^4 5\; \text d x = 5\times (4-1)=15\) .

2. Soit \(t\) un réel positif. On a \(\displaystyle \int_1^4 5t\;\text d x=5t(4-1)=15t\) . En effet, pour tout \(t\) réel positif donné, la fonction  \(x\mapsto 5t\) est une fonction constante par rapport à \(x\) .